Kategorilerimiz
06 KASIM 22
Devamını Oku

06 KASIM 22
Devamını Oku

06 KASIM 22
Devamını Oku

06 KASIM 22
Devamını Oku

Bölünebilme Kuralları
Blog Yazarı Serap ILGIN Blog Tarihi 23-10-2022

Bölünebilme Kuralları

Bölünebilme kuralları, matematik dersinde en çok sorulan konulardan biridir ve TYT Matematik dersinin temel konularındandır. Bölünebilme kuralları birçok konunun temelini oluşturduğu için Matematik dersinde önemli bir konudur.

Bölünebilme kuralları; 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ve 11 ile bölünebilme şeklinde gruplara ayrılarak incelenir. Bunlardan her birinin kendi içerisinde dikkat edilmesi gereken kuralları vardır. Bu kuralları öğrenmek ve örnekleri incelemek için içeriğimize göz atabilirsiniz.

Bölünebilme Kuralı Nedir?

Bölünebilme kuralı, tam sayıların başka bir sayıya kalansız bir şekilde bölünüp bölünmediğini anlamak için kullanılan bilgiler bütünüdür. Bölünebilme kurallarına göre bütün sayılar 1'e tam bölünür.

Bölünebilme kuralı, bize bir tam sayının hangi sayılar ile kalansız olarak bölündüğünü gösterir. Bölünebilme kuralları uygulanırken bazen sayının son basamağına, bazen rakamlarının toplamına bakılır.

Bölünebilme kurallarını öğrenirken temel bazı kuralları bilmek yeterli olacaktır. Örneğin 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ve 11 ile bölünebilme kuralları öğrenildikten sonra 36, 55, 70 gibi sayılarda hangi kuralların uygulanacağı kolaylıkla çıkarılabilir. Örneğin 36 sayısı 4 ve 9’un çarpımından oluştuğu için sayının 4 ve 9 ile bölünüp bölünmediğine bakarak 36’ya da kalansız bölünüp bölünmediği anlaşılabilir. Benzer şekilde 55 ile bölünebilme için sayının 5 ve 11 ile, 70 ile bölünebilme için sayının 7 ve 10 ile bölünüp bölünmediğine bakılır.

Kalansız Bölünebilme Nedir?

Kalansız bölünebilme, bir tam sayının başka bir sayıya bölümünden kalan değerin sıfır olmasıdır. Kalansız bölünebilme, bir sayının başka bir sayıya tam olarak bölünebildiğini gösterir.

Bir sayının hangi sayılara kalansız bölünebildiğini görmek için sayı asal çarpanlara ayrılabilir. Böylece sayının hangi sayılara kalansız olarak bölündüğü bulunabilir. Örneğin 30 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5 şeklindedir. Dolayısıyla 30 sayısının 2, 3 ve 5’e tam bölündüğü yani kalansız bölündüğü söylenebilir.

Bölünebilme Kuralları Nelerdir?

Bölünebilme kuralları kendi içerisinde gruplara ayrılır ve şu şekilde sıralanabilir:

  1. 2 ile bölünebilme kuralı
  2. 3 ile bölünebilme kuralı
  3. 4 ile bölünebilme kuralı
  4. 5 ile bölünebilme kuralı
  5. 6 ile bölünebilme kuralı
  6. 7 ile bölünebilme kuralı
  7. 8 ile bölünebilme kuralı
  8. 9 ile bölünebilme kuralı
  9. 10 ile bölünebilme kuralı
  10. 11 ile bölünebilme kuralı

2 ile Bölünebilme Kuralı

2 ile bölünebilme kuralı, en çok karşımıza çıkan bölünebilme kuralları arasında bulunur. Bir sayının 2 ile bölümünden kalanın sıfır olması için sayının 2’nin katları arasında olması yani çift sayı olması gerekir.

2 ile bölünebilme kuralını uygularken sayının birler basamağına bakılır; eğer en sondaki rakam 0, 2, 4, 6 veya 8’den biriyse bu sayı 2 ile kalansız bölünür. Bir sayı 2 ile tam bölünemiyorsa kalan 1 olacaktır.

 

8, 14, 88, 42, 11116, 9568382370 sayılarının hepsi çift sayı olduğu için 2 ile tam bölünür.
ÖRNEK 1:
7, 13, 55, 22229, 9568382371 sayılarının hepsi tek sayı olduğu için 2 ile bölümünden kalan 1 olacaktır. Örneğin 7=6+1’dir ve 6 çift sayı olup 2 ile tam bölünür dolayısıyla 6’nın 1 fazlası olan 7 rakamının 2 ile bölümünden kalan 1 olacaktır.
ÖRNEK 2:
1881B sayısı 5 basamaklı bir doğal sayıdır. Bu sayının 2 ile bölümünden kalan sıfır olduğuna göre B’nin yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?


CEVAP:
1881B beş basamaklı bir doğal sayı olduğuna göre B yerine bir sayı değil, rakam gelecektir. 1881B sayısının 2 ile bölümünden kalan sıfır ise bu sayı çift sayıdır. 
SORU:

1881B sayısının çift olması için birler basamağında çift rakamlardan birinin olması gerekir. Çift rakamlar 0, 2, 4, 6 ve 8’den ibarettir. Dolayısıyla B yerine gelebilecek rakamların toplamı 0+2+4+6+8= 20 şeklindedir.

3 ile Bölünebilme Kuralı

3 ile bölünebilme kuralı yine bölünebilme kuralları konusuyla ilgili hazırlanan sorularda sıkça karşımıza çıkar. 3 ile bölünebilme kuralı, bir doğal sayının rakamları toplamının 3 ya da 3’ün katı olmasıyla bulunur.

Eğer sayının rakamları toplamı büyük çıkıyorsa sayının rakamları tekrar toplanır ve 3’ün katı olup olmadığına bakılır. 3’e tam bölünemeyen sayılarda kalan sayıyı bulmak için sayının rakamları toplamı 3’e bölünmelidir.

 

93 sayısı 3 ile tam bölünür çünkü 9+3=12’dir ve 12 sayısı 3’e kalansız bölünür. 
ÖRNEK 1:
297847569 sayısı 3 ile tam bölünür çünkü 2+9+7+8+4+7+5+6+9=57’dir ve 57 sayısı 3’e kalansız bölünür. Burada 57’yi direkt 3’e bölerek sonucu bulabilirsiniz. Ancak 5+7=12 şeklinde yazıp “12 sayısı 3’e tam bölündüğü için 57 sayısı dolayısıyla 297847569 sayısı 3 ile tam bölünür” şeklinde çıkarım yapabilirsiniz.
ÖRNEK 2:
292537 sayısının 3 ile bölümünden kalanı bulunuz.


CEVAP:

292537 sayısını 3’e bölerek çözümü bulmak mümkündür ancak sınavda bu kadar vaktiniz olmayabilir. Dolayısıyla “Bir sayının rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalan, sayının 3 ile bölümünden kalanı verir” kuralını uygulamak gerekir.

2+9+2+5+3+7=28’dir ve 28’in 3 ile bölümünden kalan 1’dir.

Soru:
SORU:

4 ile Bölünebilme Kuralı

4 ile bölünebilme kuralında sayının sondaki iki basamağına bakılır. Sondaki iki basamağı 00 olan veya 4’e tam bölünensayılar, 4 ile kalansız bölünür.

 

94759528300 sayısı 4 ile tam bölünür çünkü sayının birler ve onlar basamağında sıfır vardır.
ÖRNEK 1:
7820119956 sayısının 4 ile bölümünden kalan sıfırdır çünkü sayının sondaki iki basamak olan 56’yı 4’e böldüğümüzde kalan sıfır olacaktır.
ÖRNEK 2:
195023X sayısı yedi basamaklı bir doğal sayıdır ve sayının 4 ile bölümünden kalan sıfırdır. Buna göre X yerine gelebilecek rakamların çarpımı kaçtır?

CEVAP:

195023X sayısı yedi basamaklı bir doğal sayı olduğuna göre X bir rakam olacaktır, sayı olmayacaktır. 195023X sayısı 4 ile tam bölünüyorsa sondaki iki basamağının yani 3X’in 4 ile kalansız bölünmesi gerekir. 

Burada basit bir şekilde 4 ile çarpım tablosundaki 30’lu kısımları düşünmek işimizi daha pratik hale getirecektir. 4.8=32 ve 4.9=36 olduğuna göre ve 4 ile çarpım tablosunda bunlardan başka 30’lu sayılarda bir sonuç çıkmadığına göre X yerine 8 ve 9 sayıları gelebilir. 

Soruda bizden istenen X yerine gelebilecek rakamların çarpımı olduğu için 8.9=72 olacak şekilde cevap bulunur.

Soru:
SORU:

5 ile Bölünebilme Kuralı

5 ile bölünebilme kuralı, bölünebilme kuralları içinde en basit ve çözümü en zevkli olanlardan biridir. 5 ile bölünebilme kuralı için sayının son rakamına bakılır. Eğer sayının son rakamı 0 ya da 5 ise o sayı 5 ile tam bölünür.

Ancak sayı 5 ile tam bölünmüyorsa kalanı bulmak için sondaki rakam 5’e bölünmelidir.

 

5, 40, 29305, 2000, 17778891545 sayılarının hepsi 5 ile tam bölünür çünkü hepsinin birler basamağı 0 veya 5’tir.
ÖRNEK 1
6, 11, 486, 9728131 sayılarının 5 ile bölümünden kalan 1’dir. Çünkü her bir sayının birler basamağını 5’e böldüğünüzde kalan 1 olacaktır. Bunu şu şekilde düşünebiliriz. Örneğin 11 sayısı aslında 10+1’dir yani bunu “5’in 2 katı+1” olarak da ifade edebiliriz. 5’in 2 katı zaten 5’in katı olduğu için 5 ile tam bölünür. Ancak bu sayının 1 fazlası demek, sayının 5 ile bölümünden kalan 1’dir demektir.
ÖRNEK 2:
97531892D sayısı 9 basamaklı bir doğal sayıdır ve bu sayının 5 ile bölümünden kalan 2’dir. Buna göre D’nin alabileceği değerler nelerdir?

CEVAP:

97531892D sayısı 9 basamaklı bir doğal sayı ise D bir sayı değildir, rakamdır. D’nin 5 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre sondaki rakamın da 2 olması gerekir. Ancak cevap yalnızca 2 değildir.

Çünkü 2+5=7’dir, başka deyişle 7’nin 5 ile bölümünden kalan 2’dir. Bunu şöyle de ifade edebiliriz: 7=5.1+2 yani 7 rakamı 5’in 1 katına 2 eklenmesiyle bulunur. 

Dolayısıyla soruda D’nin yerine 2 ya da 7 değerleri gelebilir.

Soru:
SORU:

6 ile Bölünebilme Kuralı

6 ile bölünebilme kuralı, bir sayının hem 2 hem de 3 ile tam bölünebilmesi demektir. Başka deyişle bir çift sayının rakamları toplamı 3’ün katını veriyorsa bu sayı 6 ile tam bölünür.

Çünkü 6=2.3’tür yani 6 rakamı 2 ve 3’ün katıdır. Dolayısıyla bir sayı 6’ya kalansız bölünüyorsa o sayının 2 ve 3 ile de tam bölünmesi gerekecektir.

 

312 sayısı 6 ile tam bölünür çünkü 312 çift sayıdır yani 2 ile tam bölünebilir ve 3+1+2=6’dır ve 6 da 3 ile tam bölünür. Dolayısıyla 312 sayısını bölmeye gerek kalmadan 6’ya tam bölündüğünü bu pratik yol ile bulmak mümkündür.
ÖRNEK 1:
4895214 sayısı 6 ile tam bölünür çünkü bir çift sayıdır ve 2‘ye tam bölünür. 4+8+9+5+2+1+4=33’tür ve 33 sayısı 3’e kalansız bölünür. Dolayısıyla 4895214 sayısı hem 2’ye hem 3’e kalansız bölündüğü için 6 ile de tam bölünür.
ÖRNEK 2:
785B dört basamaklı bir doğal sayı olup 6 ile tam bölündüğüne göre B kaç farklı değer alabilir?

CEVAP:

785B sayısı 6 ile tam bölünüyorsa 2 ve 3’e de tam bölünür. Sayı 2 ile tam bölünüyorsa çift sayı olacaktır dolayısıyla B rakamı 0, 2, 4, 6 ya da 8 olabilir.

Ancak sayının aynı anda 3 ile de tam bölünmesi gerekir. Bunun için şöyle bir işlem yapılır:

7+8+5+B=3K (3’ün katı) 

Yani yukarıdaki “20+B” işleminin sonucunun 3’ün katı olan bir sayı olması gerekir ve B’nin yerine bir rakam yazılmalıdır. 21, 24 ve 27 sayıları 3’ün katlarıdır. Bu durumda B’nin yerine 1, 4 ya da 7 yazılabilir.

Ancak 785B sayısı 6 ile tam bölündüğü için B’nin çift rakam olması gerekir demiştik. Dolayısıyla B yalnızca 4 olabilir. Sonuç olarak B sayısı yalnızca 1 adet değer alabilir. 

Soru:
SORU:

7 ile Bölünebilme Kuralı 

7 ile bölünebilme kuralı diğer bölünebilme kurallarına göre biraz daha karmaşık şekilde uygulanır. Sayının birler basamağından itibaren rakamlarının altına sırayla “(+1), (+3), (+2), (-1), (-3), (-2), (+1), ...” yazılır ve sayılar altındaki değer ile çarpıldıktan sonra hepsi toplanır. Elde edilen sonuç 7’nin katı ise sayı 7 ile tam bölünür diyebiliriz.

 

7, 28, 77, 196, 69979, 3620638 gibi sayılar 7 ile tam bölünür. 
ÖRNEK 1:
22, 58, 610654, 5191751 gibi sayılar 7 ile tam bölünemez. Bu sayıların 7 ile tam bölünemediğini görmek için “(+1), (+3), (+2), (-1), (-3), (-2), (+1), ...” sayıları birler basamağından itibaren yazılarak çarpılır ve elde edilen çarpımların sonuçları toplanır.
ÖRNEK 2:
7192712747411 sayısının 7 ile tam bölünebilir mi?

CEVAP:

7192712747411 sayısının 7 ile tam bölünüp bölünmediğini bulmak için sayıyı uzun uzun 7’ye bölmek yerine 7 ile bölünebilme kuralı uygulanmalıdır. Buna göre; 

7         1      9      2      7       1        2      7      4      7      4       1       1

(+1)  (-2)  (-3)  (-1)  (+2)  (+3)  (+1)  (-2)  (-3)  (-1)  (+2)  (+3)  (+1)

Yukarıdaki her bir sayı altındaki sayı ile çarpılır ve elde edilen tüm sonuçlar toplanır:

7.(+1)+1.(-2)+9.(-3)+2.(-1)+7.(+2)+1.(+3)+2.(+1)+7.(-2)+4.(-3)+7.(-1)+4.(+2)+1.(+3)+1.(+1)

7-2-27-2+14+3+2-14-12-7+8+3+1= -26

-26 sayısı 7’nin katı olmadığına göre 7192712747411 sayısı 7 ile tam bölünemez.

Soru:
SORU:

8 ile Bölünebilme Kuralı

8 ile bölünebilme kuralı için sayının son 3 basamağına bakılır. Son 3 basamağı 000 ya da 8'in katı olan sayılar 8 ile kalansız bölünür.

Eğer sayı 8 ile tam bölünemiyorsa kalan sayıyı bulmak için sayının son 3 basamağındaki kısım 8’e bölünür.

 

82240 sayısı 8 ile tam bölünür çünkü sayının son 3 basamağında bulunan “240” sayısının 8 ile bölümünden kalan sıfırdır.
ÖRNEK 1:
925735478521262000 sayısının 8 ile bölümünden kalan 0’dır çünkü sayının son 3 basamağında sıfır vardır.
ÖRNEK 2:
4628262B sayısı sekiz basamaklı bir doğal sayıdır. Bu sayının 8 ile bölümünden kalan sıfır olduğuna göre B yerine hangi değerler getirilebilir?

CEVAP:

4628262B sayısı sekiz basamaklı bir doğal sayı ise B bir rakamdır. Bu sayı 8 ile tam bölünüyorsa B’nin alacağı değerleri bulmak için sayının son üç basamağı birlikte değerlendirilmelidir.

62B sayısının 8 ile kalansız bölünebilmesi için B’nin alacağı değerleri bulurken şöyle düşünebiliriz. Bu sayı 620’lerde bir sayı olacak ve 8’e tam bölünecektir. Örneğin 620 sayısını 8’e böldüğümüzde kalan 4 olacaktır. O halde buradan yola çıkarak son basamağa 0 yerine 4 yazdığımızda sayının 8 ile tam bölündüğünü söyleyebiliriz.

0 yerine diğer sayıları yazdığımızda 8 ile tam bölünemeyecektir çünkü 624/8=78’dir, bu sonucun bir fazlası olan 79 sonucunu bulmak için 624 yerine 632 yazmamız gerekir. Ancak bizim aradığımız sayı 62B olduğu için yani 63B’li bir sonuç ile ilgilenmediğimiz için ve bundan sonra başka bir rakam deneme şansımız olmadığından B’nin yerine yalnızca 4 getirebiliriz.

Dolayısıyla 8 ile kalansız bölünebilen 4628262B sayısında B’nin yerine sadece “4” değeri getirilebilir.

Soru:
SORU:

9 ile Bölünebilme Kuralı

9 ile bölünebilme kuralı tıpkı 3 ile bölünebilme kuralında olduğu gibi bölünebilme kuralları ünitesinde karşımıza sık çıkan bir konudur. 9 ile bölünebilme kuralında sayının rakamları toplamının 9 ile tam bölünebilir olmasına bakılır.

Ancak elde edilen toplam sonucu büyük olduğunda tekrar toplanıp 9’un katı olup olmadığına bakılabilir. Tıpkı 3 ile bölünebilme kuralında olduğu gibi 9 ile bölünebilmede de sayı 9 ile kalansız bölünemediği zaman kalan sayıyı bulmak için sayının rakamları toplamının 9'a bölündüğünde hangi sonucun elde edildiğine bakılır.

 

18, 108, 504, 67104, 4605273 sayıları 9 ile tam bölünür çünkü her birinin rakamları toplamı 9’un katıdır.
ÖRNEK 1:
20, 110, 506, 67106, 4605275 sayılarının 9 ile bölümünden kalan 2’dir çünkü her bir sayının rakamları toplamı 9’un X katı+2 şeklinde ifade edilebilir. Örneğin 4605275 sayısını ele alalım. 4605275 sayısının rakamları toplamı 4+6+0+5+2+7+5= 29’dur. 29’un 5 ile bölümünden kalan 2’dir. Dolayısıyla 4605275 sayısının 9 ile bölümünden kalan da 2 olacaktır.
ÖRNEK 2:
2022A sayısı beş basamaklı bir doğal sayı olup 9 ile bölündüğünde kalan 3 olmaktadır. Buna göre A kaç farklı değer alabilir?

CEVAP:

2022A sayısı beş basamaklı bir doğal sayı ise A bir rakam olacaktır ve bu sayı 9 ile bölündüğünde kalan 3 ise şöyle bir denklem kurulabilir:

2022A=9K+3 (Burada 9K 9’un katı anlamına gelir ve 9 çarpı K şeklinde düşünülebilir)

2022A sayısının 9 ile bölünebilmesi için rakamları toplamına bakılması gerektiğini artık biliyoruz. Dolayısıyla 2022A yerine şunu yazabiliriz:

2+0+2+2+A=9K+3

Denklemi toparlayalım;

6+A=9K+3

Bu denklemde 3’ü karşı tarafa atarsak;

3+A=9K

Burada A’yı bulmak için K yerine değerler verebiliriz. Örneğin K yerine 0 yazdığımızda A’nın değeri -3 olacaktır ancak bu istenmeyen bir durumdur çünkü A’nın pozitif tam bir sayı olması gerekir. K yerine 1 yazdığımızda A’nın değeri 6 olacaktır. K yerine 2 yazdığımızda A’nın değeri 15 olacaktır ancak 15 de istenen bir sonuç değildir çünkü en başta da dediğimiz gibi A’nın rakam olması gerekir. 

Dolayısıyla A’nın alacağı bir adet değer vardır ve bu değer 6’dır.

Soru:
SORU:

10 ile Bölünebilme Kuralı

10 ile bölünebilme kuralı en kolay akılda tutulan bölünebilme kuralları arasında yer alır. 10 ile bölünebilme kuralı için sayının birler basamağının 0 (sıfır) olması gerekir.

Sayının 10 ile bölümünden kalanı bulmak için birler basamağındaki rakama bakmak yeterli olacaktır. Çünkü bir sayının 10 ile bölümünden kalan ile birler basamağındaki rakam aynıdır.

 

10, 50, 980, 2000, 4247270 sayılarının her biri 10 ile tam bölünür çünkü hepsinin birler basamağında 0 vardır.
ÖRNEK 1:
78, 123, 956, 1082511, 768212339 sayılarının 10 ile bölümünden kalan sırayla 8, 3, 6, 1 ve 9’dur çünkü sayının birler basamağındaki rakam, bize 10 ile bölümünden kalan sonucu verir.
ÖRNEK 2:
4578AB sayısı altı basamaklı bir doğal sayı olup 10 ile bölümünden kalan 4’tür buna göre AB yerine kaç değer getirilebilir?

CEVAP:

45788D sayısı altı basamaklı bir doğal sayı olduğuna göre A ve B’nin ikisi de bir rakam olmalıdır. Sayı 10 ile bölündüğünde kalan 4 oluyorsa B yerine gelecek rakam yalnızca 4 olacaktır. A yerine ise bütün rakamlar getirilebilir.

Yani A yerine 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 veya 9’dan biri getirilebilir. Bu 10 adet rakam B yerine gelen 4 sayısı ile birleştirildiğinde AB için toplam 10 adet sonuç bulunacaktır. Dolayısıyla sorunun yanıtı 10’dur.

Soru:
SORU:

11 ile Bölünebilme Kuralı

11 ile bölünebilme kuralı ise tıpkı 7 ile bölünebilme kuralı gibi diğerlerine göre biraz daha karışıktır. 11 ile bölünebilme kuralında birler basamağından başlayarak her bir basamaktakirakamın işareti sırasıyla"+ – + – + -" şeklinde düzenlenerek toplanır. Elde edilen sonuç eğer 11'in katı oluyorsa sayı 11'e tam bölünüyor demektir.

 

11, 99, 715, 8888 sayıları 11 ile tam bölünür.
ÖRNEK 1:
385, 2816, 1749, 87131 sayılarının hepsi 11 ile tam bölünür. Örneğin 87131 sayısını ele alalım. Birler basamağından itibaren rakamların işaretleri değiştirilip toplandığında 1-3+1-7+8=0 olacaktır. 0 rakamı, 11’in 0 katıdır yani 11’in katı olarak kabul edilir. Dolayısıyla 87131 sayısı, 11 ile kalansız bölünür diyebiliriz.
ÖRNEK 2:
98D576 sayısı altı basamaklı bir doğal sayıdır. Bu sayının 11 ile bölümünden kalan sıfır olduğuna göre D yerine hangi değer gelebilir?

CEVAP:

98D576 sayısı altı basamaklı bir doğal sayı ise D bir rakam olmalıdır. Bu sayının 11 ile bölümünden kalanın sıfır olduğu söylendiğine göre soru şu şekilde denklem olarak yazılabilir;

6-7+5-D+8-9=11K (Burada 11K ifadesi 11’in katı anlamına gelir ve 11 çarpı K şeklinde düşünülebilir)

Yukarıdaki işlem yapıldığında denklem şöyle olacaktır;

3-D=11K

Burada D’nin pozitif olması gerektiği için D karşıya atılır;

3-11K=D

Bu denklemde K’ya 0 verdiğimizde D rakamı 3 olacaktır. Ancak K’ya 0 dışında hangi değeri verirsek verelim sonuç 3’ten büyük olacak ve negatif bir sayı karşımıza çıkacaktır. Dolayısıyla D’nin rakam olması için K’ya bir tek 0 değeri verilebilir. Bu durumda D değeri 3 olur.

Soru:
SORU:

Yorum Yap